I SESION
UNIDAD No. 1
INTRODUCCIÓN, GENERALIDADES Y CONCEPTOS BÁSICOS
INTRODUCCIÓN, GENERALIDADES Y CONCEPTOS BÁSICOS
ARGUMENTOS PARA UNA BUENA DEFINICION
En la mayoría de los casos hemos aprendido que cuando tenemos que definir un término, resultamos dando tan solo un concepto, es decir una pequeña noción o la mínima parte de una verdadera definición.
Una verdadera definición debe ser concisa, fácil de entender y lo más simplificada posible pero sin abandonar ninguna de las características que la convierten en una verdadera definición.
A la hora de definir correctamente en nuestro cerebro se deben procesar las 3 respuestas a los siguientes interrogantes:
· ¿Qué es?
· ¿De qué se forma?
· ¿Para qué sirve?
Para que el ejercicio sea simple, a la hora de encontrar la respuesta trataremos de hacerlo con una sola palabra, si es necesario dos palabras y a lo sumo tres palabras; y al finalizar uniremos estas tres respuestas para obtener una verdadera definición.
RECOMENDACIONES
- Al interrogante: ¿Qué es? Evitemos dar como respuesta es aquel, es aquella, es algo o es lo que. Estas frases no poseen un verdadero significado.
- Al interrogante: ¿De qué se forma? ¿Para qué sirve? Se debe responder lo más sintetizado posible, claro está sin omitir los detalles de importancia o relevancia.
EJEMPLO
Tomemos como ejemplo inicial la definición de lo que es un computador, así:
Interrogante Respuesta
· ¿Qué es? Máquina
· ¿De qué se forma? Hardware y Software
· ¿Para qué sirve? Multipropósito o multitarea
En resumen al procesar esto en nuestro cerebro nuestra respuesta correcta debería ser:
Un computador es una máquina de origen electrónico formada por 2 elementos fundamentales que son el hardware y el software y que es utilizada hoy en día para múltiples propósitos o tareas.
Al finalizar la definición usted puede adicionar ciertos detalles adicionales que le parezcan relevantes. Por ejemplo:
· Que el hardware hace referencia a la parte física del computador y el software hace referencia a la parte lógica (programas e información)
· Que un computador está diseñado para 4 tareas fundamentales que son:
1.Almacenar, administrar y gestionar grandes cantidades de información
2.Realizar todo tipo de cálculos matemáticos y estadísticos de forma eficaz y eficiente.
3.Mantenernos constantemente informados y comunicado
4.Realizar todo tipo de tareas periódicas o repetitivas.
DEFINICIÓN DE LÓGICA MATEMÁTICA
La Lógica estudia la forma del razonamiento. La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos
de razonamiento. En un nivel elemental, la Lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o
no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en Matemáticas para demostrar
teoremas, sin embargo, se usa en forma constante para realizar cualquier actividad en la vida.
DEFINICION DE MATEMATICAS
DEFINICION DE MATEMATICAS
Las matemáticas o la matemática es una ciencia que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos). Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios.
Las matemáticas son una disciplina académica que estudia conceptos como la cantidad, el espacio, la estructura y el cambio.
UNIDAD Nº 2
PROPOSICIONES
Proposiciones
La lógica es toda una disciplina en la que las re‡flexiones y el razonamiento son fundamentales. El elemento básico sobre el que se desarrolla toda esta teoría se llama proposición.
De todo lo anterior podemos deducir que una proposición es una …afirmación con sentido completo de la cual se puede a…firmar que es cierta o que es falsa.
Ejemplo 1.
1. “La sal es un compuesto químico”
2. 10 < 14
3. “13 es un número impar”
4. “El sol sale de noche”
5. 45 + 5 = 30
6. “¿De que color es la pared?”
Las …afirmaciones 1, 2, 3, 4 y 5. son proposiciones aunque no todas son verdaderas siguen siendo proposiciones.
A esta propiedad de las proposiciones de ser verdadera o falsa se le llama valor de verdad.
Las proposiciones se representan con letras minúsculas, usualmente p, q, r, s, t,..
Existen casos donde el sujeto del que se habla en la proposición no está de…nido o no se conoce, por lo que tiene una incógnita. A estos casos les llamamos frases proposicionales. (Suele llamarles proposiciones abiertas)
1. x + 12 = 20
2. “Alguien es un ingeniero famoso”
3. Mi nombre es "fulano de tal"
4. “Tengo x dinero en el banco”
Clases de proposiciones
1. Proposiciones simples o atómicas: Son aquellas que no se pueden fragmentar en proposiciones menores.
“La luna es un satélite natural”
“Los dígitos son nueve”
“4 es un número par”
“Todos los números impares son primos”
“Los pingüinos son aves”
2. Proposiciones compuestas o moleculares: Las proposiciones simples se pueden conectar, y construir proposiciones llamadas compuestas. Ésta operación puede hacer que cambie su valor de verdad.
"Las rosas son rojas y las violetas azules" es un enunciado compuesto por los subenunciados "las rosas son rojas" "las violetas son azules".
"El es inteligente o estudia todas las noches" es, implícitamente, un enunciado compuesto por los subenunciados "El es inteligente" "estudia todas las noches".
La propiedad fundamental de un enunciado compuesto es que su valor de verdad está completamente determinado por los valores de verdad de sus subenunciados junto con la manera como están conectados para formar el enunciado compuesto. Comenzamos con un estudio de algunas de estos conectivos.
Utilizaremos las letras p; q; r (en minúsculas) para denotar proposiciones.
Además una proposición puede tomar el valor de 1 si es verdadera, 0 si es falsa, esto también se espera que ocurra en las proposiciones compuestas, por esto es necesario una tabla que de la oportunidad de veri…ficar todas las posibles combinaciones, la llamaremos Tablas de verdad.
Proposiciones conjuntivas, p ^ q
Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar con la palabra Y (^) para formar un enunciado compuesto llamado la conjunción de los enunciados originales. Simbólicamente, p ^ q denota la conjunción de los enunciados p y q, que se lee "p y q".
el valor de esta proposición conjuntiva dependerá de que las dos proposiciones que la conforman sean verdaderas
1. p : El dos es un número par (V)
2. q : Siete es un número primo (V)
3. r : El ocho es un número primo (F)
así que :
p ^ q : El dos es un número par y siete es un número primo (V)
En caso de que una de las dos sea falsa entonces toda la proposición conjuntiva lo será.
r ^ q : El ocho es un número primo y siete es un número primo (F)
La tabla de verdad del enunciado compuesto p ^ q está dada por la siguiente tabla:
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Para ilustrarlo: en una tubería de acueducto se han colocado 2 grifos numerados p y q respectivamente si se abre p escribimos 1, si la cerramos escribimos 0. la única forma en que salga agua es p = 1 y q = 1 en cualquier otro caso no saldrá agua.
Proposiciones disyuntivas, p v q
Dos enunciados se combinan con la palabra "O" para formar un enunciado compuesto llamado la disyunción de los enunciados originales. Simbólicamente, p Proposiciones disyuntivas, p v q
El valor de esta proposición conjuntiva dependerá de que las dos proposiciones que la conforman sean no sean falsas.
La tabla de verdad del enunciado compuesto p V q está dada por la siguiente tabla:
p q p _ q
V V V
V F V
F V V
F F F
En este caso la única manera en que no salga agua es que ambos grifos estén cerrados.
Proposiciones condicionales, p ---> q
Cuando se unen dos proposiciones con el conectivo “entonces”, se forma una proposición que solo es falsa si las primera es verdadera y la segunda es falsa (solo en este orden).
Ejemplo 2.
Sea p : El canguro es marsupial ( V )
q : America es habitat de todos los marsupiales ( F )
El canguro es marsupial entonces América es habitat de todos los marsupiales. en forma simbólica
p q p ---> q
V F F
En las proposiciones condicionales llamamos a la primera proposición que la compone “antecedente” y a la segunda “consecuente”. Cuando el antecedente tiene una relación directa con el consecuente podemos utilizar el símbolo de la implicación “--->
La suma de dos números naturales es un número natural esto implica que 2+3 es número natural.
La tabla de verdad de la proposición compuesta p ! q está dada por la siguiente tabla:
p q p --> q
V V V
V F F
F V V
F F V
Ahora el grifo p tiene un problema, se encuentra mal y cuando alguien la abre esta se cierra, cuando alguien la cierra esta se abre, por eso la única forma en que no salga agua es que se abra p (en realidad se cierra) y se cierre q.
Proposiciones bicondicionales, p <--> q
Cuando se unen dos proposiciones con el conectivo “si y solo si”, se forma una proposición que solo es falsa si las dos tienen valores de verdad diferentes.
Ejemplo 3.
Sea p : todo número impar es primo ( F )
q : 9 es menor que 6 ( F )
Todo número impar es primo si y solo si 9 es menor que 6, es como decir:
Todo número impar es primo única y exclusivamente si 9 es menor que 6
Como ambas proposiciones son falsas se cumple la afirmación compuesta
La tabla de verdad del enunciado compuesto p <--> q está dada por la siguiente tabla:
p q p <--> q
V V V
V F F
F V F
F 0 V
La proposición bicondicional p <---> q es equivalente por su tabla de verdad a (p ---> q) ^ (q ---> p)
Proposiciones negativas: -p
Aunque no es un conectivo lógico (como v;^; ---> ,<--->) genera nuevas proposiciones con solo cambiarle el valor de verdad y se simboliza anteponiendo “ ”a la letra de la proposición:
Ejemplos:
p : todo número impar es primo
-p : no todo número impar es primo
q : 9 es menor que 6
-q : 9 no es menor que 6
La tabla de verdad de la negación de p : -p está dada por la siguiente tabla:
p -p
V F
F V
La suma de dos números naturales es un número natural esto implica que 2+3 es número natural.
La tabla de verdad de la proposición compuesta p ! q está dada por la siguiente tabla:
p q p --> q
V V V
V F F
F V V
F F V
Ahora el grifo p tiene un problema, se encuentra mal y cuando alguien la abre esta se cierra, cuando alguien la cierra esta se abre, por eso la única forma en que no salga agua es que se abra p (en realidad se cierra) y se cierre q.
Proposiciones bicondicionales, p <--> q
Cuando se unen dos proposiciones con el conectivo “si y solo si”, se forma una proposición que solo es falsa si las dos tienen valores de verdad diferentes.
Ejemplo 3.
Sea p : todo número impar es primo ( F )
q : 9 es menor que 6 ( F )
Todo número impar es primo si y solo si 9 es menor que 6, es como decir:
Todo número impar es primo única y exclusivamente si 9 es menor que 6
Como ambas proposiciones son falsas se cumple la afirmación compuesta
La tabla de verdad del enunciado compuesto p <--> q está dada por la siguiente tabla:
p q p <--> q
V V V
V F F
F V F
F 0 V
La proposición bicondicional p <---> q es equivalente por su tabla de verdad a (p ---> q) ^ (q ---> p)
Proposiciones negativas: -p
Aunque no es un conectivo lógico (como v;^; ---> ,<--->) genera nuevas proposiciones con solo cambiarle el valor de verdad y se simboliza anteponiendo “ ”a la letra de la proposición:
Ejemplos:
p : todo número impar es primo
-p : no todo número impar es primo
q : 9 es menor que 6
-q : 9 no es menor que 6
La tabla de verdad de la negación de p : -p está dada por la siguiente tabla:
p -p
V F
F V
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